1. Grundbegriffe – Katheten und Hypotenuse
Bevor wir richtig loslegen mit dem Satz von Pythagoras, müssen wir zunächst ein paar Grundbegriffe auffrischen. Schau dir die folgenden rechtwinkligen Dreiecke an – der Satz des Pythagoras funktioniert nur in rechtwinkligen Dreiecken!
Was sind Katheten?
Die beiden Seiten, die direkt am rechten Winkel anliegen, nennt man Katheten. Sie sind die Schenkel des rechten Winkels.
Was ist die Hypotenuse?
Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck liegt gegenüber des rechten Winkels. Sie wird als Hypotenuse bezeichnet.
Kurzer Check
Frage 1: Was sind die Katheten?
Frage 2: Wo liegt die Hypotenuse?
Frage 3: Der Satz des Pythagoras gilt...
2. Satz des Pythagoras – Herleitung
Der Satz des Pythagoras besagt: Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate genauso groß wie der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
Stell dir das so vor: Über jeder Seite des Dreiecks wird ein Quadrat errichtet. Das Quadrat über Kathete a hat den Flächeninhalt a², über Kathete b den Flächeninhalt b². Und das große Quadrat über der Hypotenuse c hat den Flächeninhalt c².
a² + b² = c²
Kathetenquadrat + Kathetenquadrat = Hypotenusenquadrat
Überprüfung am Beispiel
Katheten 3 und 4, Hypotenuse 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 und 5² = 25 ✓
Den Pythagoras aufstellen
1. Rechten Winkel identifizieren
2. Katheten bestimmen (liegen AM rechten Winkel)
3. Hypotenuse bestimmen (liegt GEGENÜBER des rechten Winkels)
4. Pythagoras aufstellen: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²
Beispiele zum Aufstellen
3. Einstiegsbeispiele – Fehlende Seite berechnen
Jetzt wird's konkret! Wir berechnen fehlende Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
Versuch die Aufgaben erst selbst zu lösen, bevor du die Lösung aufklappst!
Beispiel 1: Hypotenuse gesucht (x)
Katheten: 5,5 cm und 3 cm.
Beispiel 2: Kathete gesucht (y)
Kathete: 7 cm, Hypotenuse: 12,5 cm.
4. Übungen – Grundniveau
Jetzt bist du dran! Rechne erst selbst, dann klapp die Lösung auf.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathete a = 6 cm, Kathete b = 8 cm.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathete b = 5 cm, Hypotenuse c = 13 cm.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathete a = 4,5 cm, Hypotenuse c = 7,5 cm.
5. Übungen – Mittleres Niveau
Hier brauchst du zwei bis drei Rechenschritte. Erst Pythagoras, dann Umfang oder Flächeninhalt.
Im nebenstehenden Rechteck ABCD gilt:
A = 84 cm²
AD = 7 cm
A = AB · AD → 84 = AB · 7 → AB = 12 cm
BD = √(AB² + AD²) = √(12² + 7²) = √(144 + 49) = √193
Im nebenstehenden Trapez ABCD gilt:
AB = 15 cm
CD = 9 cm
AD = 5 cm
h = 4 cm
AE = √(AD² − h²) = √(5² − 4²) = √(25 − 16) = √9 = 3 cm
EF = CD = 9 cm
BF = AB − AE − EF = 15 − 3 − 9 = 3 cm
BC = √(BF² + h²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
A = (AB + CD) ÷ 2 · h = (15 + 9) ÷ 2 · 4 = 12 · 4 = 48 cm²
u = AB + BC + CD + AD = 15 + 5 + 9 + 5 = 34 cm
Rechtwinkliges Dreieck: Eine Kathete = 5 cm, Hypotenuse = 9 cm.
x = √(9² − 5²) = √(81 − 25) = √56 ≈ 7,48 cm
u = 5 + 7,48 + 9 = 21,48 cm
A = 5 · 7,48 ÷ 2 ≈ 18,71 cm²
6. Übungen – Prüfungsniveau
Jetzt wird's ernst! Hier brauchst du 4–7 Rechenschritte und musst dir immer erst einen Ansatz überlegen.
1. Alle gegebenen Werte markieren
2. Teilflächen identifizieren
3. Hilfslinien einzeichnen → rechtwinklige Dreiecke erzeugen
4. Ansatz notieren, DANN erst rechnen!
Im nebenstehenden Trapez ABCD gilt:
h = 5,2 cm
c (AD) = 7 cm
b (BC) = 6,5 cm
d (CD) = 4 cm
AE = √(c² − h²) = √(7² − 5,2²) = √(49 − 27,04) = √21,96 ≈ 4,69 cm
BF = √(b² − h²) = √(6,5² − 5,2²) = √(42,25 − 27,04) = √15,21 ≈ 3,90 cm
a = AE + CD + BF = 4,69 + 4 + 3,90 = 12,59 cm
A = (a + d) ÷ 2 · h = (12,59 + 4) ÷ 2 · 5,2 ≈ 43,12 cm²
u = a + b + d + c = 12,59 + 6,5 + 4 + 7 = 30,09 cm
Im nebenstehenden Viereck ABCD gilt:
AC = 12 cm
AD = 5,8 cm
BC = 10,6 cm
β = 60°
AViereck = ATrapez + ADreieck
BE = BC ÷ 2 = 10,6 ÷ 2 = 5,3 cm
CE = √(BC² − BE²) = √(10,6² − 5,3²) = √(112,36 − 28,09) = √84,27 ≈ 9,18 cm
AE = √(AC² − CE²) = √(12² − 9,18²) = √(144 − 84,27) = √59,73 ≈ 7,73 cm
AB = AE + BE = 7,73 + 5,3 = 13,03 cm
CD = √(AE² + (CE − AD)²) = √(7,73² + 3,38²) = √(59,75 + 11,42) = √71,17 ≈ 8,44 cm
ADreieck = 0,5 · BE · CE = 0,5 · 5,3 · 9,18 ≈ 24,33 cm²
ATrapez = (AD + CE) ÷ 2 · AE = (5,8 + 9,18) ÷ 2 · 7,73 ≈ 57,89 cm²
Agesamt = 24,33 + 57,89 = 82,21 cm²
u = AB + BC + CD + AD = 13,03 + 10,6 + 8,44 + 5,8 = 37,86 cm
Im nebenstehenden Viereck ABCD gilt:
AB = 7,2 cm
AD = 5,4 cm
BC = 6,8 cm
Rechte Winkel bei A und C
AViereck = A▲ABD + A▲BCD
BD = √(AB² + AD²) = √(7,2² + 5,4²) = √(51,84 + 29,16) = √81 = 9 cm
CD = √(BD² − BC²) = √(9² − 6,8²) = √(81 − 46,24) = √34,76 ≈ 5,90 cm
A₁ = 0,5 · AB · AD = 0,5 · 7,2 · 5,4 = 19,44 cm²
A₂ = 0,5 · BC · CD = 0,5 · 6,8 · 5,90 ≈ 20,05 cm²
A = 19,44 + 20,05 = 39,49 cm²
u = 7,2 + 6,8 + 5,90 + 5,4 = 25,30 cm
7. Pythagoras im Koordinatensystem
Der Satz des Pythagoras hilft dir auch, den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem zu berechnen. Du bildest ein rechtwinkliges Dreieck zwischen den beiden Punkten!
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Beispiel aus dem Skript
Hier siehst du die Aufgabe: Berechne die Entfernung zwischen A(−2 | −5) und B(5 | 4).
Berechne den Abstand zwischen P₁(1 | 2) und P₂(7 | 10).
Berechne den Abstand zwischen P₁(−3 | 4) und P₂(5 | −2).
Berechne den Abstand zwischen P₁(−4 | 1) und P₂(2 | 9).
8. Formelsammlung
Alle wichtigen Formeln auf einen Blick – am besten ausdrucken!
9. Abschlussquiz
Teste dein Wissen! Bist du bereit für die Klassenarbeit?
Frage 1: a² + b² = c² – Was ist c?
Frage 2: a = 3 cm, b = 4 cm → c = ?
Frage 3: Gesuchte Kathete a berechnen?
Frage 4: Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck?
Frage 5: Erster Schritt bei Prüfungsaufgaben?
Frage 6: Gleichschenkliges Trapez (a=20, c=12, Schenkel=5) → x = ?
Frage 7: Flächeninhalt Trapez?
Frage 8: Abstand P₁(0 | 0) und P₂(3 | 4)?
10. Zertifikat
Du hast alle Module durchgearbeitet – starke Leistung! Gib deinen Namen ein und lade dir dein Zertifikat herunter.