Selbstlernkurs Kreis – 180gradflip

📐 Modul 1: Grundlagen & Fachbegriffe

Was erwartet dich in diesem Kurs?

In diesem Selbstlernkurs bereitest du dich optimal auf die Klassenarbeit zum Thema Kreis vor. Am Ende wirst du folgende Fragen locker beantworten können:

Wie berechnet man Umfang und Flächeninhalt eines Kreises?
Was ist ein Kreisteil und wie berechnet man dessen Umfang und Flächeninhalt?
Was ist ein Kreisring und wie berechnet man dessen Flächeninhalt?

Gehen wir es an! 🚀

Fachbegriffe am Kreis

Zunächst klären wir nochmal die wichtigsten Fachbegriffe, die du bereits aus der Unterstufe kennen solltest:

📘 Merke:
• Die Kreislinie (u) ist der Rand des Kreises – auch Umfang genannt.
• Der Mittelpunkt (M) liegt genau in der Mitte.
• Der Radius (r) geht vom Mittelpunkt zur Kreislinie.
• Der Durchmesser (d) geht durch den Mittelpunkt von einer Seite zur anderen: d = 2 · r

Das Verhältnis u/d – Die Kreiszahl π

Wenn du bei verschiedenen runden Gegenständen den Umfang und den Durchmesser misst und dann das Verhältnis u/d berechnest, passiert etwas Erstaunliches:

📗 Merke: Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ergibt bei jedem Kreis immer die gleiche Zahl: ≈ 3,14.

Diese besondere Zahl nennt man die Kreiszahl π (Pi). Sie ist eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Im Taschenrechner findest du die π-Taste – nutze sie immer!

⚠️ Häufiger Fehler: Verwende im Taschenrechner immer die π-Taste und nicht den gerundeten Wert 3,14. Sonst entstehen Rundungsfehler!

📏 Modul 2: Umfang des Kreises

Herleitung der Umfangsformel

Aus dem Verhältnis u/d = π können wir die Formel für den Umfang herleiten:

📗 Formeln – Umfang eines Kreises:

u = π · d (mit Durchmesser)

u = 2 · π · r (mit Radius)

⚠️ Aufgepasst: Schau immer genau hin, ob dir der Radius oder der Durchmesser gegeben ist! Falls der Durchmesser gegeben ist: r = d/2.

Leicht

Gegeben: r = 8 cm

Gesucht: Umfang u

Formel: u = 2 · π · r

Einsetzen: u = 2 · π · 8

Ergebnis: u = 50.27 cm

Der Umfang beträgt u = 50.27 cm.

Mittel

Gegeben: u = 62.83 cm

Gesucht: Radius r und Durchmesser d

Formel: u = 2 · π · r

Einsetzen: 62.83 = 2 · π · r

Nach r auflösen: r = 62.83 / (2 · π) = 10.0 cm

Durchmesser: d = 2 · r = 2 · 10.0 = 20.0 cm

r = 10.0 cm, d = 20.0 cm

Schwer – Anwendung

Gegeben: Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von d = 65 m.

Gesucht: Welche Strecke legt ein Punkt am Rand bei einer Umdrehung zurück?

💡 Tipp: Bei einer Umdrehung wird genau einmal der gesamte Umfang durchfahren.

Überlegung: Eine Umdrehung entspricht genau dem Umfang!

Formel: u = π · d

Einsetzen: u = π · 65

Ergebnis: u = 204.2 m

Pro Umdrehung legt ein Punkt am Rand 204.2 m (ca. 204 m) zurück.

📐 Modul 3: Flächeninhalt des Kreises

Eingrenzung: Wie groß ist der Flächeninhalt?

Bevor wir die exakte Formel herleiten, grenzen wir den Flächeninhalt erst mal ein:

📘 Erkenntnis: Der Flächeninhalt eines Kreises liegt zwischen 2 · r² und 4 · r². Der exakte Faktor ist die Kreiszahl π ≈ 3,14.

Herleitung der Flächeninhaltsformel

Wir zerlegen den Kreis in viele kleine „Tortenstücke" und setzen sie abwechselnd aneinander. So entsteht annähernd ein Rechteck:

📗 Formel – Flächeninhalt eines Kreises:

A = π · r²

Leicht

Gegeben: r = 9 cm

Gesucht: Flächeninhalt A und Umfang u

Flächeninhalt: A = π · r² = π · 9² = π · 81 = 254.47 cm²

Umfang: u = 2 · π · r = 2 · π · 9 = 56.55 cm

A = 254.47 cm², u = 56.55 cm

Mittel

Gegeben: u = 47.12 cm

Gesucht: Radius r und Flächeninhalt A

💡 Tipp: Wenn der Umfang gegeben ist, musst du ZUERST den Radius berechnen!

Schritt 1 – r berechnen: u = 2πr → r = 47.12/(2π) = 7.5 cm

Schritt 2 – A berechnen: A = π · 7.5² = 176.71 cm²

r = 7.5 cm, A = 176.71 cm²

Schwer

Gegeben: A = 314.16 cm²

Gesucht: Radius r und Umfang u

💡 Tipp: Teile durch π und vergiss nicht, die Wurzel zu ziehen!

Schritt 1 – r berechnen: A = π · r² → r² = 314.16/π

Wurzel ziehen: r = √(314.16/π) = 10.0 cm

Schritt 2 – u berechnen: u = 2π · 10.0 = 62.83 cm

r = 10.0 cm, u = 62.83 cm

🔄 Modul 4: Vertiefung – Kreis trifft andere Figuren

In diesen Aufgaben vergleichst du den Kreis mit anderen geometrischen Figuren wie Quadraten und Dreiecken. Das trainiert dein Verständnis für die Formeln und kommt häufig in Klassenarbeiten dran!

📝 Einstiegsbeispiel

Versuche die Aufgabe zuerst selbst zu lösen, bevor du dir die Lösung anschaust!

Schritt 1 – Flächeninhalt Quadrat:
A_Quadrat = a² = 4² = 16 cm²

Schritt 2 – Doppelter Flächeninhalt:
A_Kreis = 2 · 16 = 32 cm²

Schritt 3 – Radius:
A = π · r² → r = √(32/π) = 3.19 cm

Ein Kreis mit r ≈ 3.19 cm hat den doppelten Flächeninhalt wie das Quadrat.

Leicht

Gegeben: Gleichseitiges Dreieck mit a = 5 cm

Gesucht: Welcher Kreis hat denselben Flächeninhalt wie das Dreieck?

💡 Tipp: Beim gleichseitigen Dreieck musst du erst die Höhe mit Pythagoras berechnen!

Schritt 1 – Höhe h_D (Pythagoras):
h_D = √(a² − (a/2)²) = √(5² − 2.5²) = 4.33 cm

Schritt 2 – A_Dreieck:
A = ½ · a · h_D = ½ · 5 · 4.33 = 10.82 cm²

Schritt 3 – Radius:
r = √(10.82/π) = 1.86 cm

Ein Kreis mit r ≈ 1.86 cm hat denselben Flächeninhalt wie das Dreieck.

Mittel

Rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck und Kreis

Gegeben: Rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit Hypotenuse e = 10 cm

Gesucht: Welcher Kreis hat einen halb so großen Flächeninhalt?

💡 Tipp: Bei einem rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Katheten gleichzeitig Grundseite und Höhe!

Schritt 1 – Kathete berechnen:
a² + a² = e² → 2a² = 10² → a = 10/√2 = 7.07 cm

Schritt 2 – A_Dreieck:
A = ½ · a · a = ½ · 7.07 · 7.07 = 25.0 cm²

Schritt 3 – Halber Flächeninhalt:
A_Kreis = 25.0 / 2 = 12.5 cm²

Schritt 4 – Radius:
r = √(12.5/π) = 1.99 cm

Ein Kreis mit r ≈ 1.99 cm hat den halben Flächeninhalt.

Schwer

Gegeben: Kreis mit A = 250 cm²

Gesucht: Welches gleichseitige Dreieck hat den doppelten Umfang?

💡 Tipp: Berechne zuerst r aus A, dann u des Kreises, verdopple ihn und teile durch 3.

Schritt 1 – Radius:
r = √(A/π) = √(250/π) = 8.92 cm

Schritt 2 – Umfang Kreis:
u_Kreis = 2π · 8.92 = 56.05 cm

Schritt 3 – Doppelter Umfang:
u_Dreieck = 2 · 56.05 = 112.1 cm

Schritt 4 – Seitenlänge:
a = u/3 = 112.1/3 = 37.37 cm

Ein gleichseitiges Dreieck mit a ≈ 37.37 cm hat den doppelten Umfang.

🔶 Modul 5: Kreisteil (Kreisausschnitt)

Was ist ein Kreisteil?

Ein Kreisteil (auch Kreisausschnitt genannt) ist immer ein Bruchteil eines ganzen Kreises. Stell dir ein Stück Pizza oder ein Tortenstück vor!

📗 Formeln – Kreisteil:

Kreisbogen: b = (α/360°) · 2 · π · r

Flächeninhalt: A = (α/360°) · π · r²

Umfang: u = b + 2 · r

⚠️ Nicht vergessen: Beim Umfang des Kreisteils musst du zum Kreisbogen noch zweimal den Radius dazuzählen!

📝 Einstiegsbeispiel

Versuche die Aufgabe zuerst selbst zu lösen, bevor du dir die Lösung anschaust!

Schritt 1 – Winkel α:
A = (α/360) · π · r² → 60 = (α/360) · π · 13²
α = 60 · 360/(π · 13²) = 40.68°

Schritt 2 – Kreisbogen b:
b = (40.68/360) · 2π · 13 = 9.23 cm

Schritt 3 – Umfang:
u = b + 2r = 9.23 + 26 = 35.23 cm

Teil b) – Viertelkreis doppelter Umfang:
u_VK = 2 · 35.23 = 70.46 cm
r = 70.46/(π/2 + 2) = 19.73 cm

a) u = 35.23 cm b) Viertelkreis mit r ≈ 19.73 cm

Leicht

Gegeben: Kreisausschnitt: u = 30 cm, α = 100°

Gesucht: a) Viertelkreis mit halb so großem A
b) Halbkreis mit doppelter Umfangslänge

Schritt 1 – Radius:
u = (α/360)·2πr + 2r = r·(α/360·2π+2)
r = 30/(...) = 8.01 cm

Schritt 2 – A_KA:
A = (100/360)·π·8.01² = 55.99 cm²

Teil a) Viertelkreis:
A_VK = 55.99/2 = 28.0 cm²
r = √(28.0·4/π) = 5.97 cm

Teil b) Halbkreis:
u_HK = 2·30 = 60 cm
r = 60/(π+2) = 11.67 cm

a) r_VK ≈ 5.97 cm b) r_HK ≈ 11.67 cm

Mittel

Gegeben: Kreisausschnitt: α = 80°, A = 178.72 cm²

Gesucht: Welches gleichseitige Dreieck hat dieselbe Umfangslänge?

Schritt 1 – r:
r² = 178.72·360/(80·π) → r = 16.0 cm

Schritt 2 – Kreisbogen:
b = (80/360)·2π·16.0 = 22.34 cm

Schritt 3 – Umfang KA:
u = b + 2r = 22.34 + 32.0 = 54.34 cm

Schritt 4 – Seitenlänge:
a = u/3 = 54.34/3 = 18.11 cm

Gleichseitiges Dreieck mit a ≈ 18.11 cm.

Schwer

Gegeben: Viertelkreis mit u = 16.07 cm

Gesucht: Welches rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck hat den doppelten Flächeninhalt?

💡 Tipp: Beim rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck gilt: A = ½ · a²

Schritt 1 – Radius Viertelkreis:
u = (90/360)·2πr + 2r = r·(π/2+2)
r = 16.07/(π/2+2) = 4.5 cm

Schritt 2 – A_Viertelkreis:
A = (90/360)·π·4.5² = 15.9 cm²

Schritt 3 – Doppelter Flächeninhalt:
A_Dreieck = 2 · 15.9 = 31.8 cm²

Schritt 4 – Kathete a:
A = ½ · a · a = ½ · a² → a² = 2·31.8 → a = √(63.6) = 7.97 cm

Rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit a ≈ 7.97 cm.

⭕ Modul 6: Kreisring

Was ist ein Kreisring?

Ein Kreisring entsteht, wenn du einen kleineren Kreis aus einem größeren Kreis „herausschneidest":

📗 Formel – Flächeninhalt eines Kreisrings:

A_Kreisring = A_groß − A_klein = π · r_groß² − π · r_klein²

⚠️ Häufiger Fehler: Vergiss nicht, den kleinen Kreis abzuziehen! Viele rechnen nur den großen Kreis aus.

🏀 Einstiegsbeispiel: Basketball

Versuche die Aufgabe zuerst selbst zu lösen!

Schritt 1 – Fläche Ring:
A_Ring = π · 22.5² = 1590.43 cm²

Schritt 2 – Radius Ball:
r_Ball = 77/(2π) = 12.25 cm

Schritt 3 – Fläche Ball:
A_Ball = π · 12.25² = 471.44 cm²

Platz: A = 1590.43 − 471.44 = 1118.99 cm²

Leicht

Gegeben: r_groß = 12 cm, r_klein = 7 cm

Gesucht: Flächeninhalt des Kreisrings

Formel: A = π · r_g² − π · r_k²

Einsetzen: A = π · 12² − π · 7² = π · 144 − π · 49

Ergebnis: A = 298.45 cm²

A_Kreisring = 298.45 cm²

Mittel

Gegeben: A_Kreisring = 200 cm², r_klein = 5 cm

Gesucht: r_groß und Breite des Kreisrings

💡 Tipp: Erst den kleinen Kreis ausrechnen, auf die andere Seite addieren, durch π teilen, Wurzel ziehen.

Schritt 1:
200 = π · r_g² − π · 5²

Schritt 2:
π · 5² = 78.54 cm²

Schritt 3:
π · r_g² = 200 + 78.54 = 278.54

Schritt 4:
r_g = √(278.54/π) = 9.42 cm

Breite: b = 9.42 − 5 = 4.42 cm

r_groß = 9.42 cm, Breite = 4.42 cm

Schwer

Gegeben: r_groß = 15 cm, A_Kreisring = 350 cm²

Gesucht: r_klein und Breite

💡 Tipp: Bringe π · r_groß² auf die andere Seite, teile durch −π und ziehe die Wurzel.

Schritt 1:
350 = π · 15² − π · r_k²

Schritt 2:
π · r_k² = π · 15² − 350 = 706.86 − 350 = 356.86

Schritt 3:
r_k = √(356.86/π) = 10.66 cm

Breite: b = 15 − 10.66 = 4.34 cm

r_klein = 10.66 cm, Breite = 4.34 cm

🏴‍☠️ Modul 7: Die Piraten-Aufgabe (Prüfungsniveau)

Hier kommt die große Abschlussaufgabe! Diese Aufgabe kombiniert alles: Flächeninhalt, Umfang und Kreisring.

Versuche alle Teilaufgaben zuerst selbst zu lösen!

Teil 1: Anschaffungskosten

Die Insel hat d = 80 m und kostet 2.700 €/m². Wie teuer ist sie?

Teil 2: Zaun um die Insel

Wie lang muss ein Zaun rund um die Insel sein?

Teil 3: Rasenfläche & Wohnfläche

Die kreisringförmige Rasenfläche soll 2.000 m² groß sein. Wie breit ist sie?

🎯 Modul 8: Abschluss – Quiz & Zertifikat

📋 Formelsammlung auf einen Blick

🧠 Abschlussquiz – Teste dein Wissen!

8 Fragen zum Thema Kreis. Klicke auf die richtige Antwort!

Frage 1: Wie lautet die Formel für den Umfang eines Kreises?

✅ Richtig! u = 2 · π · r (bzw. u = π · d)

Frage 2: Ein Kreis hat r = 5 cm. Wie groß ist A?

✅ Richtig! A = π · 5² = π · 25 ≈ 78,54 cm²

Frage 3: Was ist d = ?

✅ Richtig! d = 2 · r

Frage 4: Ein Kreisteil ist ein …

✅ Richtig! Ein Kreisteil ist immer der Bruchteil eines ganzen Kreises.

Frage 5: Umfang eines Kreisteils?

✅ Richtig! Umfang = Kreisbogen + 2 · Radius!

Frage 6: Flächeninhalt eines Kreisrings?

✅ Richtig! Kreisring = großer Kreis minus kleiner Kreis.

Frage 7: u = 31,42 cm. Wie groß ist r?

✅ Richtig! r = u/(2π) = 31,42/(2π) = 5 cm

Frage 8: Was ist π?

✅ Richtig! π ist irrational mit unendlich vielen Nachkommastellen.

🏆 Zertifikat

Herzlichen Glückwunsch! Du hast den Selbstlernkurs „Kreis" abgeschlossen.

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