Sachrechnen

Vermehrter & verminderter Grundwert - Verknüpfen von Prozentsätzen
Frage 1: Ein Mountainbike kostet netto 1200€. Mit 19% MwSt und 2% Rabatt, wie viel kostet es?
1387,20€
1399,44€
1404,00€
1416,00€

📚 Theorie: Verknüpfen von Prozentsätzen

🎯 Das Prinzip

Beim Verknüpfen von Prozentsätzen haben wir mehrere aufeinanderfolgende Veränderungen.

Wichtig: Wir multiplizieren die Wachstumsfaktoren - niemals die Prozentsätze addieren/subtrahieren!

Erweitertes Schaubild

START
= 100%
z.B. 1200€
→
1. Veränderung
× q₁
z.B. × 1,19
→
Zwischenwert
→
2. Veränderung
× q₂
z.B. × 0,98
→
ENDWERT
Ergebnis

🔢 Die drei Fälle

Fall 1: Endwert berechnen
Endwert = Anfangswert × q₁ × q₂
Fall 2: Anfangswert berechnen (rückwärts)
Anfangswert = Endwert ÷ (q₁ × q₂)
Fall 3: Zweite Veränderung berechnen
q₂ = Endwert ÷ (Anfangswert × q₁)

📈 Fall 1: Endwert berechnen (vorwärts)

Beispiel: Mountainbike mit MwSt und Rabatt

  • Nettopreis: 1200€
  • Erste Veränderung: +19% MwSt → q₁ = 1,19
  • Zweite Veränderung: -2% Rabatt → q₂ = 0,98

Methode 1: Schrittweise

Schritt 1: Mit MwSt = 1200€ × 1,19 = 1428€

Schritt 2: Mit Rabatt = 1428€ × 0,98 = 1399,44€

Methode 2: Direkt (schneller!)

Endpreis = 1200€ × 1,19 × 0,98 = 1399,44€

📉 Fall 2: Anfangswert berechnen (rückwärts)

Beispiel: Laptop mit zwei Veränderungen

  • Erste Veränderung: -15% → q₁ = 0,85
  • Zweite Veränderung: +35% → q₂ = 1,35
  • Endpreis: 799,90€
  • Gesucht: Ursprungspreis?

Methode 1: Schrittweise rückwärts

Schritt 1: Reduzierter Preis = 799,90€ ÷ 1,35 = 592,52€

Schritt 2: Ursprungspreis = 592,52€ ÷ 0,85 = 697,08€

Methode 2: Direkt (schneller!)

Ursprungspreis = 799,90€ ÷ (0,85 × 1,35) = 697,08€

🔍 Fall 3: Zweite Veränderung berechnen

Beispiel: Receiver mit unbekannter Reduzierung

  • Ursprungspreis: 129€
  • Erste Veränderung: +23% → q₁ = 1,23
  • Zweite Veränderung: -?% → q₂ = ?
  • Endpreis: 135€

Methode 1: Schrittweise

Schritt 1: Erhöhter Preis = 129€ × 1,23 = 158,67€

Schritt 2: q₂ = 135€ ÷ 158,67€ = 0,8508

Schritt 3: p = (1 - 0,8508) × 100 = 14,92%

Methode 2: Direkt (schneller!)

q₂ = 135€ ÷ (129€ × 1,23) = 0,8508

p = (1 - 0,8508) × 100 = 14,92%

⚠️ WICHTIG - Häufige Fehler!

  • FALSCH: +19% und -2% = +17%
  • RICHTIG: 1,19 × 0,98 = 1,1662 (entspricht +16,62%)
  • Wachstumsfaktoren MULTIPLIZIEREN, nicht Prozentsätze addieren!
  • +10% und -10% ergeben NICHT 0%, sondern -1%!
  • Bei Rückwärtsrechnung: Durch das Produkt der Faktoren teilen!

💪 Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Fernseher mit MwSt und Rabatt

Ein Fernseher kostet netto 850€. Mit 19% MwSt und 5% Rabatt, wie viel zahlt man?

Lösung anzeigen

Gegeben: Netto 850€, +19% MwSt, -5% Rabatt

Wachstumsfaktoren: q₁ = 1,19, q₂ = 0,95

Berechnung: 850€ × 1,19 × 0,95 = 961,08€

Schrittweise:

• Mit MwSt: 850€ × 1,19 = 1011,50€

• Mit Rabatt: 1011,50€ × 0,95 = 961,08€

Aufgabe 2: Auto mit mehreren Preisänderungen

Ein Auto wurde erst um 8% reduziert, dann um 12% erhöht und kostet nun 24.192€. Was war der Ursprungspreis?

Lösung anzeigen

Gegeben: Endpreis 24.192€, -8%, +12%

Wachstumsfaktoren: q₁ = 0,92, q₂ = 1,12

Berechnung: 24.192€ ÷ (0,92 × 1,12) = 23.500€

Kontrolle: 23.500€ × 0,92 × 1,12 = 24.192€ ✓

Aufgabe 3: Smartphone mit unbekannter Erhöhung

Ein Smartphone kostete 399€, wurde erst um 18% reduziert, dann wieder erhöht und kostet nun 360,18€. Wie hoch war die Erhöhung?

Lösung anzeigen

Gegeben: Start 399€, -18%, +?%, Ende 360,18€

Schritt 1: q₂ = 360,18€ ÷ (399€ × 0,82) = 1,10

Schritt 2: p = (1,10 - 1) × 100 = 10%

Ergebnis: Die Erhöhung betrug 10%

Aufgabe 4: Doppelter Rabatt

Ein Artikel wird erst um 20% reduziert, dann nochmals um 15%. Wie hoch ist die Gesamtreduzierung?

Lösung anzeigen

Wachstumsfaktoren: 0,80 × 0,85 = 0,68

Gesamtfaktor: 0,68 entspricht 68% des Ursprungspreises

Gesamtreduzierung: (1 - 0,68) × 100 = 32%

NICHT: 20% + 15% = 35% (das wäre falsch!)

Beispiel: 100€ × 0,80 × 0,85 = 68€ (32€ Rabatt)

Aufgabe 5: Komplexe Kette

Ein Produkt wird um 10% erhöht, dann um 20% reduziert, dann um 5% erhöht. Wie viel kostet es am Ende, wenn es ursprünglich 200€ kostete?

Lösung anzeigen

Wachstumsfaktoren: q₁ = 1,10, q₂ = 0,80, q₃ = 1,05

Berechnung: 200€ × 1,10 × 0,80 × 1,05 = 184,80€

Schrittweise:

• Nach +10%: 200€ × 1,10 = 220€

• Nach -20%: 220€ × 0,80 = 176€

• Nach +5%: 176€ × 1,05 = 184,80€

🧮 Interaktiver Rechner - Verknüpfen von Prozentsätzen

💡 Beispiele zum Ausprobieren

  • Mountainbike: 1200€, +19%, -2% → 1399,44€
  • Doppelrabatt: 100€, -20%, -15% → 68€ (32% Gesamtrabatt!)
  • Auf/Ab: 100€, +10%, -10% → 99€ (nicht 100€!)