Sachrechnen

Vermehrter & verminderter Grundwert - Prozentuale Veränderung
Frage 1: Ein Bluetooth-Lautsprecher kostet in Finnland ohne MwSt 35€, mit MwSt 43,40€. Wie hoch ist der Mehrwertsteuersatz?
19%
22%
24%
25%

📚 Theorie: Prozentuale Veränderung berechnen

🎯 Das Prinzip

In dieser Lektion berechnen wir die prozentuale Veränderung (p%), wenn wir Anfangswert und Endwert kennen.

Wir ermitteln also: Um wie viel Prozent hat sich etwas verändert?

Das Schaubild

ANFANGSWERT
(Grundwert)
= 100%
GEGEBEN!
→
Veränderung
+/- p%
Wachstumsfaktor q
GESUCHT!
→
ENDWERT
nach Veränderung
GEGEBEN!

🔍 Beide Werte bekannt → Veränderung berechnen!

🔢 Grundformel in 2 Schritten

Schritt 1: Wachstumsfaktor q = Endwert ÷ Anfangswert
Schritt 2a (bei Erhöhung): p = (q - 1) × 100
Schritt 2b (bei Senkung): p = (1 - q) × 100
WICHTIG: Auch hier wird rückwärts gerechnet (dividiert)!

📈 Vermehrter Grundwert (Erhöhung)

Beispiel: Bluetooth-Lautsprecher in Finnland

  • Anfangswert (Netto): 35€
  • Endwert (Brutto): 43,40€
  • Schritt 1: q = 43,40€ ÷ 35€ = 1,24
  • Schritt 2: p = (1,24 - 1) × 100 = 0,24 × 100 = 24%
  • Die Mehrwertsteuer beträgt 24%

Kontrolle: 35€ × 1,24 = 43,40€ ✓

📉 Verminderter Grundwert (Senkung)

Beispiel: Smartphone-Preis

  • Anfangswert (UVP): 699€
  • Endwert (aktuell): 500€
  • Schritt 1: q = 500€ ÷ 699€ = 0,7153
  • Schritt 2: p = (1 - 0,7153) × 100 = 0,2847 × 100 = 28,47%
  • Das Smartphone wurde um 28,47% reduziert

Kontrolle: 699€ × 0,7153 ≈ 500€ ✓

📐 Zwei Lösungswege

Methode 1: Dreisatz

35€ = 100%

1€ = 100% ÷ 35 = 2,857%

43,40€ = 2,857% × 43,40 = 124%

Differenz: 124% - 100% = 24%

Methode 2: Mit Formel (schneller!)

q = 43,40€ ÷ 35€ = 1,24

p = (1,24 - 1) × 100 = 24%

💡 Zusätzliche Berechnungen

Nach der prozentualen Veränderung kann man auch den absoluten Betrag berechnen:

Variante 1: Differenz bilden

MwSt-Betrag = 43,40€ - 35€ = 8,40€

Rabatt = 699€ - 500€ = 199€

Variante 2: Prozentsatz auf Anfangswert anwenden

MwSt-Betrag = 35€ × 0,24 = 8,40€

Rabatt = 699€ × 0,2847 = 199€

⚠️ MERKE DIR!

  • q = Endwert ÷ Anfangswert (immer dividieren!)
  • Bei Erhöhung (q > 1): p = (q - 1) × 100
  • Bei Senkung (q < 1): p = (1 - q) × 100
  • Kontrolle: Anfangswert × q sollte Endwert ergeben
  • Kommazahlen richtig in Prozent umwandeln!

💪 Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Restaurantrechnung

Eine Rechnung beträgt netto 45€ und brutto 53,55€. Wie hoch ist die Mehrwertsteuer in Prozent?

Lösung anzeigen

Schritt 1: q = 53,55€ ÷ 45€ = 1,19

Schritt 2: p = (1,19 - 1) × 100 = 0,19 × 100 = 19%

Ergebnis: Die Mehrwertsteuer beträgt 19%

MwSt-Betrag: 53,55€ - 45€ = 8,55€

Aufgabe 2: Winterschlussverkauf

Eine Hose kostete 89€ und ist jetzt für 62,30€ im Sale. Wie hoch ist der Rabatt in Prozent?

Lösung anzeigen

Schritt 1: q = 62,30€ ÷ 89€ = 0,70

Schritt 2: p = (1 - 0,70) × 100 = 0,30 × 100 = 30%

Ergebnis: Der Rabatt beträgt 30%

Rabatt-Betrag: 89€ - 62,30€ = 26,70€

Aufgabe 3: Benzinpreis

Benzin kostete vor einem Jahr 1,35€/L und kostet jetzt 1,62€/L. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?

Lösung anzeigen

Schritt 1: q = 1,62€ ÷ 1,35€ = 1,20

Schritt 2: p = (1,20 - 1) × 100 = 0,20 × 100 = 20%

Ergebnis: Der Preis ist um 20% gestiegen

Preisanstieg: 1,62€ - 1,35€ = 0,27€

Aufgabe 4: Möbelverkauf

Ein Schrank hatte einen Originalpreis von 450€ und wird für 360€ verkauft. Wie hoch ist die Preisreduktion in Prozent?

Lösung anzeigen

Schritt 1: q = 360€ ÷ 450€ = 0,80

Schritt 2: p = (1 - 0,80) × 100 = 0,20 × 100 = 20%

Ergebnis: Die Reduktion beträgt 20%

Alternative (Dreisatz):

450€ = 100% → 360€ = 80% → Reduktion: 20%

Aufgabe 5: Mieterhöhung

Die Miete stieg von 800€ auf 856€. Um wie viel Prozent wurde die Miete erhöht?

Lösung anzeigen

Schritt 1: q = 856€ ÷ 800€ = 1,07

Schritt 2: p = (1,07 - 1) × 100 = 0,07 × 100 = 7%

Ergebnis: Die Miete wurde um 7% erhöht

Erhöhungsbetrag: 856€ - 800€ = 56€

🧮 Interaktiver Rechner für prozentuale Veränderung

💡 Beispiele zum Ausprobieren

  • Lautsprecher: Anfang 35€, Ende 43,40€ → +24% (Erhöhung)
  • Smartphone: Anfang 699€, Ende 500€ → -28,47% (Senkung)
  • Produkt: Anfang 80€, Ende 100€ → +25% (Erhöhung)
  • Jacke: Anfang 150€, Ende 120€ → -20% (Rabatt)