Sachrechnen

Vermehrter & verminderter Grundwert - Anfangswert
Frage 1: Ein Longboard wurde um 28% reduziert. Es kostet nun 79,90€. Wie teuer war das Longboard vor der Reduzierung?
99,87€
102,38€
110,97€
115,50€

📚 Theorie: Anfangswert (Grundwert) berechnen

🎯 Das Prinzip

In dieser Lektion berechnen wir den Anfangswert, wenn wir den Endwert und die prozentuale Veränderung kennen.

Anders gesagt: Wir rechnen vom Ende zurück zum Start - von rechts nach links im Schaubild!

Das Schaubild

ANFANGSWERT
(Grundwert)
= 100%
GESUCHT!
→
Veränderung
+/- p%
Wachstumsfaktor q
→
ENDWERT
nach Veränderung
GEGEBEN!

⬅️ Wir rechnen RÜCKWÄRTS: von rechts nach links!

🔢 Grundformel

Anfangswert = Endwert ÷ Wachstumsfaktor (q)
WICHTIG: Bei Rückwärtsrechnen wird dividiert!

📉 Verminderter Grundwert (Rabatt/Senkung)

q = 1 - (p / 100)

Beispiel: 28% Rabatt

  • Endwert entspricht: 100% - 28% = 72%
  • Wachstumsfaktor: q = 0,72
  • Endwert: 79,90€
  • Anfangswert: 79,90€ ÷ 0,72 = 110,97€

📈 Vermehrter Grundwert (Aufschlag/Erhöhung)

q = 1 + (p / 100)

Beispiel: 19% Mehrwertsteuer

  • Endwert (Brutto) entspricht: 100% + 19% = 119%
  • Wachstumsfaktor: q = 1,19
  • Endwert: 69,95€
  • Anfangswert (Netto): 69,95€ ÷ 1,19 = 58,78€

📐 Zwei Lösungswege

Methode 1: Dreisatz

72% = 79,90€

1% = 79,90€ ÷ 72 = 1,11€

100% = 1,11€ × 100 = 110,97€

Methode 2: Mit Formel (schneller!)

Anfangswert = Endwert ÷ q

Anfangswert = 79,90€ ÷ 0,72

Anfangswert = 110,97€

⚠️ MERKE DIR!

  • Von rechts nach links = DIVIDIEREN!
  • Der Anfangswert liegt immer bei 100%
  • Bei Rückwärtsrechnung durch den Wachstumsfaktor teilen
  • Dreisatz und Formel führen zum gleichen Ergebnis

💪 Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Smartphone nach Rabatt

Ein Smartphone wurde um 22% reduziert und kostet nun 468€. Wie viel kostete es vor dem Rabatt?

Lösung anzeigen

Schritt 1: Endwert entspricht 78% (100% - 22%)

Schritt 2: Wachstumsfaktor q = 0,78

Schritt 3: Anfangswert = 468€ ÷ 0,78 = 600€

Probe: 600€ × 0,78 = 468€ ✓

Aufgabe 2: Bücher mit Mehrwertsteuer

Ein Buch kostet inklusive 7% Mehrwertsteuer 21,40€. Wie viel kostet es netto (ohne MwSt)?

Lösung anzeigen

Schritt 1: Endwert (Brutto) entspricht 107% (100% + 7%)

Schritt 2: Wachstumsfaktor q = 1,07

Schritt 3: Anfangswert (Netto) = 21,40€ ÷ 1,07 = 20€

MwSt-Betrag: 21,40€ - 20€ = 1,40€

Aufgabe 3: Mieterhöhung

Die Miete wurde um 4% erhöht und beträgt jetzt 936€. Wie hoch war sie vorher?

Lösung anzeigen

Schritt 1: Endwert entspricht 104% (100% + 4%)

Schritt 2: Wachstumsfaktor q = 1,04

Schritt 3: Anfangswert = 936€ ÷ 1,04 = 900€

Erhöhung: 936€ - 900€ = 36€

Aufgabe 4: Winterschlussverkauf

Eine Jacke kostet im Sale nach 40% Rabatt noch 89,94€. Was war der ursprüngliche Preis?

Lösung anzeigen

Schritt 1: Endwert entspricht 60% (100% - 40%)

Schritt 2: Wachstumsfaktor q = 0,60

Schritt 3: Anfangswert = 89,94€ ÷ 0,60 = 149,90€

Alternative (Dreisatz):

60% = 89,94€ → 1% = 1,499€ → 100% = 149,90€

Aufgabe 5: Restaurant-Rechnung

Eine Restaurant-Rechnung beträgt inklusive 19% MwSt 59,50€. Wie hoch ist der Nettobetrag und die MwSt?

Lösung anzeigen

Schritt 1: Brutto entspricht 119% (100% + 19%)

Schritt 2: Wachstumsfaktor q = 1,19

Schritt 3: Netto = 59,50€ ÷ 1,19 = 50€

MwSt-Betrag: 59,50€ - 50€ = 9,50€

Alternative für MwSt: 50€ × 0,19 = 9,50€

🧮 Interaktiver Anfangswert-Rechner

💡 Beispiele zum Ausprobieren

  • Longboard: Endwert 79,90€, Senkung 28% → Anfangswert = 110,97€
  • Kopfhörer: Endwert 69,95€, Erhöhung 19% (MwSt) → Anfangswert = 58,78€
  • Smartphone: Endwert 468€, Senkung 22% → Anfangswert = 600€